【難関校算数】４×A＋５×Bの答えにできない最大の数字は？

予備知識として知っておけば攻略が楽になる算数問題です。

問題

正解は下にあります。

解説

答えは２０です。

４と５の最小公倍数にあたる２０がそのまま答えとなります。

ではなぜそうなるのか、数学的な説明は置いといて、出来るだけ算数の理屈で考えてみたいと思います。

１から２０までを４つ区切りで５行４列の表にしてみました。

一列目は４で割ると１余る数が入っていますね。

この一列目の数の構成要素に必ず５が１つ含まれていることにお気付きでしょうか？

５は４で割ると１余る数だから、５一つに４を何個か足せば自由に４の倍数＋１の数は作れます。

では５二つになるとどうでしょうか？

５二つで１０であり、４で割ると２余る数です。

だから、これまた１０に４をいくつか足すことで４の倍数＋２の数はいくらでも作れます。

同じように５三つは１５で、１５は４で割ると３余ります。

１５に４をいくつか足すことで４の倍数＋３の数を自由に作ることができます。

問題は５を四つ集めた２０ですが、２０は４の倍数でもあります。

２０に４をいくつか足すことで自由に４の倍数を作ることができるのですが、２０自体は決して４と５を組み合わせて作ることはできません。

必ず５を１つは使って２０を表すとするならば、５を４つ使うしかないのです。

そして、２０までに４の倍数＋１と、４の倍数＋２と、４の倍数＋３の作り方は確定しています。

だから、一番最後にできた４の倍数である２０、が答えとなります。

この話、奥深いところまでつながっています。

５は４で割ると１余りますので、４の倍数＋１の数です。

ですから、５が２つだと４の倍数＋２、３つだと４の倍数＋３、４つでちょうど４の倍数になります。

２つの整数が１以外に公約数を持たないことを互いに素と言いますが、４と５も互いに素です。

〇と□が互いに素であるとき、〇をいくつか集めた数は□の倍数＋△を全て経由した後で□の倍数に行き着きます。

例えば、７と５ではどうでしょうか。

７…５の倍数＋２

１４…５の倍数＋４（余りの２が２つ）

２１…５の倍数＋６（余りの２が３つ）→５の倍数＋１

２８…５の倍数＋３（５の倍数＋１と５の倍数＋２を合わせる）

３５…５の倍数＋５（５の倍数＋３と５の倍数＋２を合わせる）→５の倍数

難関校ではこういう整数と余りの関係を理解しているか問うような問題が多数出題されます。

このような考え方を知っていれば、整数問題だけでなく、光線発射や立体切断の問題も考えやすくなりますので是非押さえておきましょう！